6×5와 5×6은 어떻게 다른가? 삶과 단상


  결론부터 이야기하자. 위 그림을 통해 알 수 있는 건 사실 단 하나밖에 없다: 교사가 매우 훌륭하다.

  본론으로 들어가기 전에 간단하게 두 가지 지점을 미리 짚어볼 필요가 있을 것 같다. 먼저 수학 이야기다. 맨날 문제만 풀다가 대학에서 처음으로 학문으로서 수학을 접한 사람들이 하나같이 하는 이야기가 있다. "내가 수학을 공부하는 건지 철학을 공부하는 건지 모르겠다." 일리 있는 표현이다. 수학이란 고도의 추상화가 필요한 학문으로 정의에서부터 출발하여 공준과 공리를 거쳐 비로소 정리에 도달하게 된다. 여기서 가장 본질적인 것은 도대체 '그것'을 어떻게 정의할 것인가이다. 더하기란 무엇인가? 집합이란 무엇인가? 당신은 이것을 정의할 수 있는가? 단순히 문제풀이 놀음이 아닌 학문으로서 수학이 고도로 철학적으로 느껴지는 것도 바로 이 때문이다.

  놀랍게도 이러한 접근은 초등학교 저학년 수학 교과 과정에서도 발견된다. 어찌 보면 당연한 것이다. 수학이라는 것을 처음 접하기에 이 과정에서 핵심적인 것은 중요한 개념을 '바르게' 정의하는 것이다.

  다른 하나는 교육학 이야기다. 대학에서 수업을 들어보았다면 어느 교수의 학문적 성취가 매우 뛰어나다는 건 분명한데, 그 교수의 수업은 터무니없을 정도로 형편없었던 기억이 한 번쯤은 있을 것이다. 이는 바로 아는 것과 그것을 가르치는 것이 다르다는 데서 출발한다. 그래서 교육학이 따로 존재하는 것이다. 여기서 가장 핵심적인 것은 교사의 앎의 수준과 학생의 앎의 수준이 다르다는 것. 그렇기에 내가 아는 것을 전달하고 나아가 그것을 학생에게 인식하기 위해서는 체계적인 과정이 필요하게 된다. 교육이란 집을 짓는 것과 같다. 공중에 누각을 지을 수 없듯이, 땅을 평탄화하고 뼈대를 세우는 작업이 반드시 필요하다. 무리수라는 개념을 익히고 나서야 비로소 꼭 직각 삼각형이 아니더라도 그 넓이를 구할 수 있게 되는 것처럼 말이다. 여기서 핵심적인 것은 과연 지금의 작업이 어느 과정에 위치하고 있는가이다. 뼈대를 짓는 중인가? 보일러를 까는 중인가? 아니면 가구를 들여놓는 중인가?

  이쯤 되면 눈치가 빠른 사람들은 대충 무슨 이야기를 하려는지 다 알았을 것이다. 위 사진과 관련된 논란은 이 두 이야기에서 충분히 정리가 된다. 곱하기란 과연 무엇인가, 그리고 그것을 처음 배우는 초등학생들에게 어떻게 전달할 것인가가 이 논란의 핵심이다. 교환법칙이니 뭐니 하는 것들은 다 접어 두고, 곱셈을 처음 배우는 학생과 그것을 가르치는 교사가 되어 보자.

  위 문제에 해당하는 과정은 곱셈이라는 개념을 '처음' 배우는 과정이다. 그리고 그 과정에서 곱셈은 더하기의 반복으로 정의된다(이른바 동수누가). 즉 5×4는 5+5+5+5이므로 20이 되는 것이다. 반대로 4×5는 4+4+4+4+4로서 20이 된다. 순서가 별거 아닌 것 같지만, 곱셈을 '처음' 배우는 학생들에게 이것은 매우 중요하다(자세한 이야기는 뒤에서 다시 하겠다.) 위 문제는 곱셈이라는 개념을 '처음' 배우는 과정에서 학생이 이러한 곱셈의 개념을 '정확히' 습득했느냐를 묻고 있다. 즉, 개미 다리가 6개이고 개미가 5마리이므로 6×5, 6+6+6+6+6이 되어야만 한다. 만약 5×6이 되면 5+5+5+5+5+5로 문제와 전혀 상관없는 식이 되고 만다. 이 문제의 본질은 여기에 있다. 만약 학생이 해당 과정의 동수누가 개념을 정확히 습득했다면 결코 이 문제를 5×6으로 풀지는 않았을 것이다.

  그러나 또 다른 문제는 곱셈에 있어 교환법칙이 성립한다는 데 있다. 즉, 5×6이 6×5, 즉 6+6+6+6+6이 될 수 있음을 '우리'는 안다. 하지만 앞서 강조했듯 교육은 과정이다. 곱셈이라는 개념 자체를 처음 배우는 학생들이 과연 이것을 알까? 오히려 막 배운 곱셈의 개념에 혼돈만 줄 가능성이 높다.(우리에게 지극히 당연한 것이 처음 배우는 학생들에게는 미지의 영역일 수 있다는 점을 명심하자. 누구에게나 처음 하는 두 자리 수 덧셈은 머리가 터질 듯이 어려웠다.) 실제로 동수누가를 통해 곱셈의 개념이 잡힌 이후에는 묶음 방식의 접근, 즉 3개의 주머니에 공이 4개씩 들어있을 때 총 몇 개인가 등의 물음을 통해 4×3이 3+3+3+3이 될 수 있다는 것을 분명히 제시한다. 이후에는 현실적으로 구구단이 그 자리를 차지하지만 말이다. 여하튼 여기서 가장 중요한 것은 위 문제가 곱셈을 '처음' 배우는 과정이며, 개념을 잡는 것이 무엇보다 우선된다는 것이다. 교육 과정은 곱셈을 처음 배우는 과정에서는 모든 계산을 덧셈으로 처리해도 된다고 제시하고 있다. 중요한 건 곱셈이 어떻게 이루어지는가를 이해하고 배우는 것이지, 곱셈 계산을 하는 것이 아니기 때문이다.

<그림 1> 두뇌 풀 가동!
단순히 곱셈이 덧셈에 우선한다고 외우는 것이 아니라, 곱셈의 개념을 이해한다면 이런 일도 일어나지 않을 것이다. 그렇기에 '처음' 배우는 과정에서 개념을 정확히 이해하는 것이 매우 중요하다.

  실제 교육 현장에서도 이 과정이란 결코 무시할 것은 못 된다. 저 시기 이 동수누가의 개념이 정확히 습득되지 않는다면, 이후 배우게 되는 등분 개념에서 막힐 가능성이 크다. 즉 6의 2등분으로서 3과 6의 3등분으로서 2를 구분하지 못하게 될 수 있는 것이다. 이것은 내가 실제로 접한 사례였다. 교육의 목적이 문제를 빠르게 풀어내는 것이라면 개념과 과정을 생략하고 구구단과 공식만 알려주면 된다. 실제로 그렇게 선행학습한 학생들은 문제를 매우 빠르고 능숙하게 풀어낸다. 하지만 머지 않아 본질적인 한계에 마주칠 수밖에 없다. 내가 만났던, 높은 성취를 기록하다가 어느 시점부터 성적이 급락한 학생들 중 상당수가 이런 식으로 개념과 추론 능력을 쌓지 못한 채 문제 풀이법만 배운 경우였다.

  여기서는 좀 더 현실적인 이야기를 해보자. 채점을 한 교사는 매우 훌륭하다. 웬만하면 귀찮아서라도 그냥 맞다 하고 넘어갈 텐데(요즘 채점이 조금만 이상하다 싶으면 바로 전화부터 하는 학부모들이 참 많다고 한다. 일단 저 시험지가 인터넷에 돌게 된 맥락을 추측해보자), 굳이 저걸 틀렸다고 채점한 걸 보니 그 열정을 높이 사고 싶다. 맞다고 할 수도 있는 걸 굳이 틀렸다고 했으니, 분명히 왜 틀렸는지도 자세히 설명했을 것이다. 물론 이건 내 추론이다. 저 그림만으로 알 수 있는 건 여기서 끝이다.

  행간을 읽어보자. 한 가지 가능성은 저 학생이 이미 5×6이 6+6+6+6+6이 될 수 있다는 것을 알고 있었을 경우다. 만약 이 과정을 통해 풀었다면 과정에서는 벗어나지만 틀렸다고 할 수는 없다. 이 경우를 틀렸다고 한다면 분명히 잘못된 것이다. 하지만 마찬가지로 추론을 해보자면, 이걸 굳이 틀렸다고 했을 정도면 분명히 과정에 대한 심층적인 점검도 이루어졌을 것이라고 생각한다. 일단은 틀렸다고 한 다음 면담이 이루어지지 않았을까? 채점을 물어보면서 할 수는 없는 노릇이 아닌가. 이에 따라 이후 융통성을 발휘해 맞다고 해줬을 수도 있을 것이고, 아니면 엄격하게 틀렸다고 했을 수도 있을 테다. 물론 일체의 환류가 없었다면 이건 분명히 큰 문제다. 어찌 되었건 만약 내가 부모였다면 이렇듯 개념을 환기해준 교사에게 굉장히 고마웠을 듯하다.

  다른 가능성은 학생이 이미 구구단을 배운 경우다. 이 경우는 문제가 좀 복잡해진다. 아마 이 경우가 맞다면, 학생은 아무렇지도 않게 5랑 6이네? 30 했을 것이다. 아마 (해당 과정에 비해) 고도의 개념을 갖고 있는 우리 성인들도 대부분 이렇게 생각했을 것이다. 이 경우 나는 저 학생을 위해서라도 오답 처리하는 게 맞다고 본다. 먼저 문제는 단순히 개수를 요구한 것이 아니다. 개수와 동시에 '어떻게', 즉 과정을 요구했다. 그리고 그 과정으로서 막 배운 곱셈, 그중에서도 동수누가의 개념이 요구된 것이다. 그런데 여기에 개념의 적용이 아닌 바로 구구단을 통한 계산이 이루어졌다는 것은 결코 바람직한 상황이 아니다. 모든 교육 과정이 마찬가지여야 하겠지만, 특히 초등 과정의 목적은 단순히 문제의 정답을 찾아내는 것이 아닌, 문제 해결 과정을 통해 해석 능력과 추론 능력을 키우는 데 있기 때문이다.

  이와 같은 선행학습을 거친 학생들에게서 종종 나타나는 현상이 앞서 언급한 등분에서의 혼란과 a×b와 b×a(a, b는 복소수)를 구별하지 못하는 것이다. a×b와 b×a는 '값'이 같은 거지 '식'이 같은 게 아니다. 더군다나 그 값마저 같다는 걸 논하게 되는 건 중학교에 와서의 이야기이다.(당신은 a×b=b×a라는 것을 '증명'할 수 있는가?) 간단하게 이야기해서, 5명이 6개의 빵을 들고 있는 것과 6명이 5개의 빵을 들고 있는 상황을 혼돈한다는 것이다. 이러면 이후 등분과 나누기 개념을 배울 때 막힌다. 대상이 우리 성인이 아니라 개념 자체를 '처음' 배우는 초등학생이란 점을 명심하고 또 명심하자.


추가. 개념을 '처음' 배운다는 건 결코 단순하게 접근할 수 있는 과정이 아니다. 덧셈을 처음 배운 학생들에게 4+7을 물어본 다음 7+4를 물어보자. 처음 배운 게 맞다면 대부분이 계산을 또 할 것이다. 두 값이 같다는 것은 덧셈이라는 개념이 확립되고 나서야 비로소 '인지'할 수 있기 때문이다. 여기에 바로 다른 교육학과 차별되는 초등교육학의 역할이 있다. 비슷한 예로 4×7을 계산하는 학생이 7×4를 계산하지 못하는 경우도 굉장히 흔하다. 특히 곱셈을 개념으로 인지한 게 아니라 단순히 구구단을 외운 경우라면, 7단을 외우기 전에는 결코 이 계산을 해내지 못한다. 이것은 학생을 위해서라도 결코 바람직하지 못하다. 사과 여섯 개에서 두 개를 먹으면 몇 개가 남느냐는 질문에는 바로 대답해도, 6-2를 계산하지 못하는 학생들도 수두룩하다. 초등 교육의 본질은 여기에서부터 출발한다. 좀 더 이해를 쉽게 하기 위해 극단적인 예를 만들어 보자. 더하기와 빼기라는 개념을 완전히 처음 배우는 학생에게 이 개념의 추상성은 당신에게 있어 삼수선의 정리가 가진 추상성과 맞먹을 수도 있다.

  이를 위해서라도 개념을 정확하게 잡는 것이 중요하고, 그렇기에 굳이 귀찮음을 감수한 저 교사가 매우 훌륭하다는 것이다. 여담으로 우리 교육 과정이 입시에 매몰되다 보니 이상한 측면이 크지만, 과정 자체는 꽤 훌륭하다. 충분히 체계적으로 집을 쌓을 수 있도록 구성되어 있다. 선행학습이 문제 되는 것도 다 이 과정을 비틀기 때문이다. 심심하면 중고교 교과서를 구해서 읽어보자. 의외로 재미있고 유용하다.

  최악의 경우의 수는 교사가 학생의 기준이 단순히 채점 기준과는 다르다고 해서 오답 처리한 경우다. 이 경우라면 분명히 비판 받아 마땅하다. 그러나 앞서 언급했듯 그 정도로 교육에 대한 열정이 없는 교사라면 분명히 귀찮아서라도 정답 처리하고 넘어갔을 것이다.

  이제 답을 내보자. 위의 채점이 옳은가? 제시된 사진만으론 알 수 없다. 맞다고 해도 그만한 이유가 있고, 틀렸다고 해도 분명히 그만한 이유가 있다. 학생이 어떤 생각을 갖고 저 답을 썼는지, 교사가 그 학생의 생각을 어떻게 판단하여 채점했는지 알아야만 우리가 비로소 판단이 가능해진다. 채점 이후에 어떤 환류가 있었을 수도 있을 것이다. 따라서 이 사진만으로 누가 옳다 그르다 하는 것은 굉장히 한계적이다. 그러나 저 상황에서 굳이 귀찮음을 감수한 교사는 일단 칭찬하고 싶다. 학생에게 더 유용한 가르침을 제공했기 때문이다. 곱셈의 정확한 개념을 환기하려는 교사와 구구단 외웠으니 그냥 넘어가려는 교사, 어느 쪽이 더 훌륭한지는 금방 답이 나올 것이다.(물론 어디까지나 최악의 경우의 수가 아니었단 추론과 가정하에서다. 누누이 언급하지만 저 상황에서 다른 환류가 없었거나, 학생이 인지하고 있었음에도 오답 처리했다면 명백히 잘못된 것이다.) 6×5와 5×6가 같다고 말하는 것. 그것이야말로 오히려 교육의 본질적인 목적을 포기하고 결과만을 중요시하는 것이 아닐까?


추가. 동수누가의 개념을 적용하고서도 5×6을 사용할 수 있다는 지적이 있다. 즉 개미의 오른쪽 앞다리 5개, 왼쪽 앞다리 5개, 오른쪽 중간다리 5개...에 따라 5+5+5+5+5+5를 적용할 수 있다는 것이다. 이 풀이법은 어느 정도 분명히 수용할 여지가 있다. 그러나 계속해서 강조하듯이, 우리는 문제를 푸는 대상이 동수누가의 개념을 통해 곱셈을 '처음' 배우는 학생이란 점에 주목해야 한다. 문제에서는 다리 수와 개미 수 이외의 다른 정보는 제공하지 않고 있다. 따라서 이의 시각으로 문제에 접근한다면 식은 5×6이 아닌 1×5×6이 되어야만 한다. 세어보니 다리가 다섯 개더라 하는 건 '개념'의 첫 교육이라는 문제의 목적에 절대 부합하지 않는다. 또한 곱셈에서 1의 성질과 세 자릿수의 곱셈은 한참 뒤의 이야기이다. 물론 이렇게 풀면 틀렸다는 것이 아니다. 학생이 1×5×6으로 접근했다면 굉장히 훌륭한 것이다.(선행학습을 했다면 결코 1을 곱하지 않았을 것이다.) 그러나 '과정'이라는 교육의 목적에서 교사가 이것을 학생에게 미리 가르치는 것이 정말 학생에게 도움이 될까 하는 의문이 남는다. 더군다나 선행학습이 개입하기 시작하면 문제는 훨씬 복잡해진다. 따라서 5×6이 동수누가에 부합한다는 이유만으로 답으로 인정할 수는 없다. 그것이 훨씬 더 '개념'을 '처음' 배우는 학생을 위한 길이다. 더군다나 우리는 학생이 5×6을 동수누가로 접근했는지조차 알 수 없다. 결론에서 강조했듯이, 가장 중요한 것은 학생이 어떤 판단에서 풀었고, 교사가 어떤 판단에서 채점했는가이다.


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핑백

  • 곱셈에 대한 잘못된 교육 &#8211; Dulcine 2018-04-29 12:14:39 #

    ... 게 유래되었는지 전혀 알지 못하고, 자기주장을 하고 있는 꼴이고.. 또한 학생들의 생각을 저렇게 쉽게 채점하고, 주입한다는 데에서 끔찍한 교육이라고 생각합니다. http://demo.egloos.com/2436061 개미 다섯 마리의 다리 수는 5 x 6이 맞습니다. 이 표현은 서양의 어순에서 온 것입니다. 5 times (of) 6.. 즉 6이 다섯 번 ... more

덧글

  • caskㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 2016/01/28 00:17 # 삭제

    대학수학수준가지고 논하는 수준 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 어디서 배웠는지 참 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
  • caskㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 2016/01/28 00:18 # 삭제

    아예.. 대학 수학 배우면 조아려야죠....
    kreyszig 책 가지고 오겠습니다
  • DSmk2 2013/10/06 19:18 #

    전 이 문제가 상당히 재밌었는데 일단 이 문제를 보고 바로 풀었을때는 저도 5X6으로 풀었습니다. 왜냐면 그림에서 개미는 5마리고, 그 다리가 6개로 보이니까 먼저 인식한것을 토대로 5X6으로 풀었죠. 그림에서 먼저 '개미'를 인식하고 '개미다리'는 그 다음에 인식하니까요.

    근데 개미 그림 위의 9번 문제를 읽고 나면 6X5로 풀게 됩니다. 왜냐면 문제 자체에서 6이 먼저 나오고 5가 나오니까요.

    전 그림이 없었으면 풀었던 2학년생도 6X5로 풀었지 않았을까 합니다.

    '문제'와 '그림'이 같다는 면을 생각하면 문제에서 6X5로 가든, 그림에서 5X6으로 가든, 그 방법적인 면에서 과연 차이를 논할 수 있는가가 의문시 되고, 사실 그림도 9번문제의 요소의 하나라고 생각한다면 학생이 딱히 틀리게 계산했다고 생각되지는 않네요. 그림이 없었으면 뭐 다른 의견을 내놓겠지만.

    실제로 이 문제가 푸는 방법 자체를 제한하지 않았기 때문에 선생의 의도랑은 거리가 있겠지만 '그림의 다리를 모두 세서 30개였다' 라고 해도 틀리다고 하기는 힘들겁니다. 그런 의미에서 전 선생님의 배려가 약간 부족하다고 생각되네요. 초등학교 2학년이라면 글보다는 그림에 더 눈이 가기도 하겠죠.
  • 몽몽이 2013/10/06 19:28 #

    순서 가지고 틀렸다고 생각하는 게 더 꼴통짓으로 보이네요.
    애가 개미 5마리가 6개씩 발이 달렸으니까 5x6 하면 되겠지? 라고 생각할 가능성은 아예 무시?
    생각하는 순서까지 선생이 쓴 순서대로 똑같이 맞춰 존만아 뭐 이런 강압적인 채점으로 보이는군화.
    별 거지 같은 선생 만나서 애가 고생하네. 대한민국 좆까라 그래.
  • 자언킹 2013/10/06 20:15 # 삭제

    5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 라고요. 이건 뭐 병신도 아니고..
  • 몽몽이 2013/10/06 20:56 #

    자언킹 // 그렇게밖에 생각 못하는 니가 병신이라구 이 존만아
  • 몽몽이 2013/10/06 20:58 #

    개미 5마리가 = 5
    발이 6개씩 = 6
    5 x 6 = 30
    이렇게 생각 못한다구? 이런 초딩만도 못한 존만아
    자언킹아 니 초딩때 아이큐가 한자리였다고 남도 꼭 그렇다고 우기면 안돼
  • 자언킹 2013/10/06 21:01 # 삭제

    뇌가 있으면 반박을 해보세요. 개미 5마리가 발이 6개씩 달렸으니 5 x 6하면 되겠지라고 하셨는데, 5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 라니까요? 되긴 뭐가 된다는 건데요? 뭔 가능성을 무시해요? 발이 6개달린 개미가 5마리 있으니 5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 해서 개미가 30마리일 가능성이 있다는건가요? 님같은 뇌없는 멍청이들이 아무리 좋은 글 써주고, 좋은 조언해줘도 알아먹지를 못하니 대한민국이 병신이 되가는겁니다. 원문 글쓴분처럼 좋게 말해줘도 알아먹지를 못하니 강하게 말하는거니까 좀 알아먹으세요. 이 병신아..
  • 몽몽이 2013/10/06 21:14 #

    자언킹 //
    저걸 틀렸다고 한게 지금 너 한 것처럼 곱셈은 덧셈인데 초딩이 의미는 모르고 걍 곱셈만 했으니 틀렸다 뭐 이런 거지?
    야 아무리 초딩이라도 걔가 진짜 너처럼 개미가 6마리에 발이 5개라고 계산했겠냐?
    초딩은 뇌 없냐? 니 대가리 속의 뇌세포보단 많을 걸?
    내가 풀은 것처럼 생각의 순서대로 풀어서 곱셈했겠지. 한글 순서대로 곱셈하면 틀린거야?
    암만 초딩이라도 선생이란 작자가 지가 가르치는 애를 그렇게 개무시하려면 선생질을 관둬야지.
    대한민국은 너같이 대가리에 똥만 차고 남의 글도 제대로 읽지도 못하는 새끼가 허세질 훈장질을 해서 병신이 되어 가는 거란다. 걍 닥치고, 뇌가 있으면 로그인이나 하고 써라 손가락이 병신이라 로그인이 안되니?
  • 자언킹 2013/10/06 21:17 # 삭제

    병신은 뭔 방법을 써도 병신이라는 말이 실감이 가네요. 사람 말길을 이해못하고 헛소리만 해싸면서 지금까지 인생 살았으니 님 삶이 그렇게 병신같은거겠죠. 나중에 애낳아서 애가 교사한테 꾸지람만 들어도 쫓아가서 교사 머리끄댕이 붙잡다가 인터넷에 퍼지고, 뉴스에 나고 그러면서 개욕처드실텐데, 뭐 여기까지 하겠습니다. 님이 그렇게 좆같다는 대한민국 법이 알아서 님을 처리해줄테니...
  • 몽몽이 2013/10/06 21:31 #

    자언킹아 로그인이나 해라 병신아. 너같이 익명의 뒤에 숨어서 지랄하는 것들이야말로 학교에 뛰어와서 개거품 뿜고 멱살 잡다가 콩밥 먹더라. ㅉ
  • kjhd 2013/10/07 15:46 # 삭제

    얘는 심심하면 남의 블로그 정책을 가지고 탓하네. 이블로그 주인장이 비로그인 풀어놓은걸 왜 니가 트집잡냐?
  • 라비안로즈 2013/10/06 20:24 #

    저도 이거 틀렸네? 라고 생각했는데....
    정말 6개의 발이 5마리라서 30이 된건데
    6*5=6+6+6+6+6...이죠

    위의 말대로라면 개미가 5마리 단 다리는 6개
    이게 어째서 5가 6번 더한건지...
    어찌보면 수학도 국어라는 말이 이해가 가네요.
  • 자언킹 2013/10/06 20:25 # 삭제

    훌륭한 글을 이해못하고 헛소리하는 사람이 몇몇 있는데 안타깝네요.
  • 미르-용 2013/10/06 20:37 # 삭제

    저 문제를 푸는 대상이 초등학교 2학년이라는 사실을 다들 간관하신 것 같습니다. 저 문제는 더하기에서 곱셈으로 넘어가는 과정을 정확히 알고 있는가를 묻는 것이기도 합니다. 그러니까 개미 5마리의 다리수 6+6+6+6+6+6를 6×5로 변화할 수 있는가를 확인하는 내용입니다. 이 단계에서 학습이 잘 못 되면 이후 나누기에서 무엇을 나누어야하는지 모르는 경우가 많습니다. 그냥 위에 댓글을 다신 분들이 뭔가 오해를 하시는 것 같아 댓글을 답니다.
  • 너구리찡 2013/10/06 20:46 # 삭제

    글은 잘 읽었습니다. 하지만 제 생각은 좀 다르네요.
    저 아이가 동수누가를 이해했다고 해도 5*6으로 풀 수 있습니다. 오히려 제대로 이해해서 저렇게 풀었다면 그건 칭찬해야 마땅한 일이죠. 틀렸다고 한다면 그건 교사 자질을 의심해야 하는 겁니다.
    물론 추후에 저 문제를 푼 학생을 불러서 거기에 대한 피드백을 했을 거라고 믿고 싶습니다. 그 부분에 대한 사실은 아무도 모르는 거지만요.
    그리고 일단 확실히 문제의 답은 30이라고 맞췄죠. 그리고 그걸 구하는 방식은 각자 다릅니다. 막말로 저 아이가 30을 도출하는 식으로 '6+6+6+6+6=30' 이라고 했어도 그건 틀렸다고 하면 안되는 거죠.
    곱셈을 이용해서 답을 구하라는 조건이 있나요? 혹은 (개미다리)*(개미의 수)라는 식을 이용해야만 한다는 조건이 있나요?
    그게 아니라면 아이가 저 식을 이용한 이유가 불합리하다고 판단되기 전까지 저걸 틀렸다고 채점해서는 안된다고 생각합니다.
    마지막으로 위 댓글 중에 자신과 다른 의견을 인정하지 못하고 막말하는 분이 계신데, 비록 직접 얼굴 마주하고 얘기하는 게 아니라 모니터를 사이에 두고 랜선으로 의견을 주고받는 사이지만, 최소한의 예의는 지키는 게 지성인의 자세라고 말씀드리고 싶네요.
  • 몽몽이 2013/10/06 21:01 #

    내 말이 그 말입니다.
    애가 설명을 쓴 걸 보니 곱셈을 이해 못하는 애가 절대 아니에요.
    곱셈을 이해하지 못했으면 저기서 곱셈을 한다는 생각 자체를 못하죠.
    저걸 틀렸다고 한 선생은 자기 자식이 저랬으면 학교 뛰달려간다에 오백원 겁니다.
  • 달려옹 2013/10/06 21:20 #

    저건 곱셈을 이해를 못하고 외우기만 했을때 나타나는 현상입니다. 제가 미적과 적분을 외워서 잘 풀게 된것을 이해했다고 착각했다가 대학가서 피본걸 생각하면 저아이가 어릴때 좋은 피드백 받고 그런 원리를 잘 파악했으면 하네요.
  • 신촌독수리 2013/10/06 21:36 # 삭제

    아니 저 자언킹 존나 병신새끼 아냐? 미쳤냐? 니가 뭐나 좀 된다고 생각하나봐 이 병신은??
    보아하니 여기 세연넷에서 보고 달려온애들 좀 있는거같네 그나저나ㅋㅋ 5*6을 5 5 5 5 5 5 5 로 밖에 생각 못하는 저
    개병신 자언킹따위에 말섞지 맙시다. 아오 시발새끼 존나 댓글단거 보니 화나네
    수학 좆도 못하는 병신 교육학과 생이 이지랄로 깝치지.
  • ogion 2013/10/06 21:43 #

    오른쪽 앞다리 5개. 오른쪽 가운데다리 5개... 이렇게 계산하면 안 되나요. 혹시 곤충을 정말 자세하게 관찰하는 걸 즐긴 학생이라면 다리 하나하나에 관심을 가졌을수도 있죠. 자신이 흥미있는 순서대로 계산해도 되는거고 머리속에서 무슨 일이 일어나는지 어떻게 알까요. 이런게 획일적인 교육으로 보입니다.
  • 냉동너구리 2013/10/12 21:25 # 삭제

    네 저도 이 글과 댓글들을 읽으며 같은 생각을 했습니다
    같은 곱셈문제라도 6*5 의 의미와 5*6의 의미를 충분히 생각할 수 있는 것으로 보이는 학생을 너무 무시하는것 같네요

  • 검은하늘 2013/10/06 22:02 #

    ... 좋은 점을 깨닫게 해주셔서 감사합니다.

    인터넷에 글 올릴 정도면 선생이 왜 틀린지 설명도 안해줬다는 얘기군요. 참 애매한 상황이네요.(너나 잘하세요. 문제만 보면 난독인데...)
  • asdf 2013/10/06 22:13 # 삭제

    님이 말하고자 하는게 먼지 알겟는데.. 애가 5+5+5+5+5+5라고 쓴게 아닌 이상 틀렸다고 하기엔 잘못된것 같네요. 그것 때문에 논란이 된 거죠
  • 몽몽이 2013/10/06 22:35 #

    그렇죠. 애가 5+5+5+5+5+5라고 이해했다고 단정하는 거야 말로 억지 아니겠어요. 아무리 초딩이라도 기분 나쁠 거 같아요.
  • 피라미드 2013/10/06 22:46 # 삭제

    '교환법칙'을 알고 있는 (이미 교육을 받은) 우리들로서는 '정의에 맞지 않다'는 판결에 억울함을 호소했을 겁니다.
    저 역시 처음 결과만 봤을 때, 무언가 억울한 채점이라고 생각했었습니다.
    그런데 글을 읽어보니 생각이 많이 바꼈네요. 교사가 문제의식을 가지고 '지적'했다는 점은 교육적으로 훌륭한 점 같습니다.
    깨우침 주셔서 감사합니다.
  • 계란소년 2013/10/06 23:25 #

    생각보다 덧글에 반발들이 심해서 놀랬네요. 뭐 좀 유명한 분도 있지만...
  • 이런CBR 2013/10/06 23:37 # 삭제

    좀 많이 웃겨서 글 답니다.

    동수누가,
    제수, 피제수.

    이딴 산수 용어는
    배우는 사람의 '이해'를 돕기 위해 생겨난

    '일치된 용어'일 뿐이고 '일반화된 설명의 방법'일 뿐이죠.

    용어가 틀리고 자리가 틀렸다고,
    그 것이 틀렸다라고 감점하다니요.


    그 용어의 의의와 수식의 위치 자체가 산수에서 얼마나 영역을 차지하는 지 모르겠지만

    글쎄요.


    동수누가의 개념을 아느냐 모르느냐를 가지고 개드립을 날리셨는데.


    동수누가의 개념 자체를 모르니 가르쳐야 한다. 라고 주장을 하시려면,

    과연 문제를 푼 학생이
    어떤 생각에서 어떤 이유로 이렇게 문제를 풀고 수식을 적어 냈는지
    물어보기 전에는 답이 나오지 않을 것 같은데요.

    과연 학생이 제수와 피제수에 대한 개념은 옳게 서 있는 것인지,
    그렇다면 제수로 설정한 숫자와
    피제수로 설정한 숫자에 타당한 의의가 있는 것인지.
    교환 법칙은 알고 있는 것인지
    이런 모든 개념을 이해하고 수식을 바꿔 쓴 것인지
    분석을 시작하는 순간 틀려먹는 이야기라는 말입니다.



    교환법칙 또환
    곱셈에서 제수, 피제수의 위치가 바뀌어도 결론이 바뀌지 않더라 라는 경험적 지식에서 나온
    인위적 법칙일 뿐입니다.

    그것은

    다리가 6개인 개미가 5마리이냐.
    5마리의 개미가 각각 6개의 다리를 가지고 있느냐.

    라는 질문이 갖는 차이가 의미 없다고 만들어 주는,
    역설적 증명이기도 하죠.

    그걸 틀렸다. 라고 단정짓는 자세 자체가 재수없고 틀려먹은 겁니다.
  • 아니스 2013/10/07 00:09 #

    관점을 달리하니까 확실히 그렇게 보이네요. 그리고 산수든 수학이든 어렵습니다.... 으아아아
  • 2013/10/07 00:42 # 삭제

    맞는 글인데 난독들이 설치는구나
  • ㅁㅇ 2013/10/07 01:00 # 삭제

    ㅋㅋㅋㅋ 맞는글은 개뿔 논리만 있으면 그게 참이 되는줄아나. 5*6= 5여섯개 도 되지만 6이5개인 것과도 같은거지, 저걸 철학에대 대입하려고 똥싸는데 그래봤자 개미를 먼저 인식하고 다리를 인식한다 라고 생각할 수도 있는데, 무엇보다 수학의 본질은 규칙내의 유연성에 있는데, 글쓴이는 "나만 옳소" 라고 하니 얼마나 수학에 대한 깊이가 없는 사람인지 인증이네
  • 범골의 염황 2015/04/27 14:19 #

    그런 말도 안되는 궤변질에 쳐 낚여가지고 정상적인 반론를 난독증으로 매도하는 자언킹같은 후빨러들이 가장 핵노답. 이건 문과출신인 내가 봐도 정말 말이 안 되는 이재율급의 뻘논리였음. 이건 수학 수식의 문제가 아니라 가장 기본적인 국어실력과 논리력 자체의 문제라고 생각함.
  • ㅁㅇ 2013/10/07 01:02 # 삭제

    지금 창의성을 죽이는게 너랑 교사가 하는짓이야 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
  • ㅁㅇ 2013/10/07 01:03 # 삭제

    무식한애가 이렇게 똑똑한척 하는거 보면 그냥 한숨만 나온다 ㅋㅋ
  • 거참 2013/10/07 01:04 # 삭제

    수학으로 오랜 세월 밥벌이하고 있는데, a*b와 b*a가 식으로는 다른 식이라는 듣도보도 못한 소리는 처음 듣는 소리군요. 도대체 어느 수학교과서로 배웠기에 이런 소리를 그리도 자신만만하게 하는지... 사이비 수학을 혼자서 고민하지 말고 대학가서 제대로 배우세요. 추상대수학이라도 들먹여야하는데, 집합론에서 곱의 정의라도 들고 와야하는 것인지... 도대체 말도 안되는 소리를 이리도 길게 써댈 수 있다니 지나가던 수학과 학부생도 웃겠습니다 그려... 수학을 얼치기로 배운 사람들이 정의가 어쩌네 공리가 어쩌내 하며 어린 학생들이 수학일 싫어할 방향으로 끈임없이 밀어붙이곤 하는데, 이 블로그 주인장도 그러시군요. 수학자 그 어느 누구도 동수누가니 뭐니하며 수학을 하지 않습니다. 얼치기 사이비 수학언저리 인이나 그런 소리를 하지...
  • 김고기 2013/10/07 02:15 #

    추상대수학을 언급하시는 걸 보니 그래도 기본은 된 거 같아 특별히 답글을 드립니다.
    본문을 제대로 읽어보셨다면 충분히 알 수 있겠지만, 수학과 수학교육학은 다릅니다. 당연히 수학자 그 누구도 동수누가하며 수학을 하지 않겠죠. 동수누가란 곱셈을 어떻게 '가르칠' 것인가에 대한 이론이지, 그 자체가 수학인 것은 아니니까요.

    그렇기에 곱셈의 개념이 정확히 확립되지 않은 학생에게 일치감치 a*b와 b*a가 같다고 바로 가르치지 않는 겁니다. 추상의 세계를 현실로 끌고올 때 문제가 생길 수 있으니까요. 예컨대 사과가 3개씩 4개의 주머니에 있는 상황과, 4개씩 3개의 주머니에 있는 상황을 구분하지 못할 가능성이 있습니다. 이후 배우게 될 등분 개념을 인지하지 못하는 것이지요. 따라서 그것은 곱셈의 개념이 정확히 자리잡고 난 뒤에도 충분하고, 또 실제로도 그렇게 이루어지고 있습니다. 교육의 대상이 기본 정의가 확립된 중고생이 아니라, 그 정의부터 정의해야 하는 초등학생이란 것을 유념하시기 바랍니다. 초등교육학이 교육학과 괜히 별개로 있는 게 아닙니다.

    다음 두 논문은 초등학교 수학의 곱셈 교육에 있어 동수누가와 다른 여러 개념을 함께 가르칠 필요가 있음을 주장하는 논문입니다. 읽어보시면 수학이 아닌 수학교육학에서 동수누가의 개념을 잡는데 도움이 되실 겁니다.

    http://www.riss.kr/search/detail/DetailView.do?p_mat_type=be54d9b8bc7cdb09&control_no=e4c115e865c165d3ffe0bdc3ef48d419&naverYN=Y#redirect
    http://academic.naver.com/openUrl.nhn?doc_id=31111278&linkType=doclink
  • 화려한불곰 2013/10/07 01:15 #

    이런 시선으로 본다는게 새롲고 신비하네요. 글 잘 보고갑니다.
  • 자언킹 2013/10/07 01:21 # 삭제

    글쓴분이 난독증 븅신들이 써갈겨논 댓글들에 맘 상하질 않길 바라네요. 어딜가나 말길 못알아처먹는 고문관같은 분들은 존재하기 마련이고, 그런 분들 밥벌어먹는 거 보면 뭐 뻔하죠. 위에 수학으로 밥벌이한다는 분은 그정도 실력뿐이 안되니까 입에 풀칠만 하고 사는겁니다.
  • ㅇㅇ 2013/10/07 01:23 # 삭제

    5*6 = 5+5+5+5+5+5
    첫번째다리를 가진 개미수 5마리
    두번째다리를 가진 개미수 5마리
    ...
    여섯번째다리를 가진 개미수 5마리

    설명은 하기나름
  • 자언킹맘 2013/10/07 01:42 # 삭제

    언킹아 너 이러고 있니 ? 엄마가 마음이 아프다 ... 인터넷에서 왜그렇게 답정너 대답을 원하니 ?
    저글은 좋은글이다 그러니 너희들은 동의를 해야된다 . 반박따위 하는새끼들은 다 하등한 멍청이들

    이라고 보여 .. 엄마는 널 그렇게 안키웠잖니 ?
    니 말대로 주장을 할꺼면 그에 따른 근거를 대면 되지
    너 나랑 아빠 욕먹일려고 일부러 그렇게 싸가지 없이 대답하니 ? 엄마 이미 오래살아서 더 오래살기싫어 ~
    욕좀 그만먹여라 인석아 ㅠㅠ
  • 런닷 2013/10/07 02:09 #

    ... 댓글들을 보니, 글쓴이가 무슨 소리를 하는지 이해하는 댓글은 몇개 되지 않는것같네요..

    ..... 무슨 말을 하고 싶은지 잘 이해도 안됐는데 무작정 아는체하며 "비난" 하기에 바쁜건 왜 저러는걸까....라는 생각이 문득 들었습니다만.. 그냥 이 바로 위 댓글 수준보니 이해가 되네요.

    초등학생처럼 무작정 욕하는 수준을 벗어난 "비판"은 기껏해야 몇개 안되는것같습니다. 씁쓸하네요.;
  • ㅁㅁ 2013/10/07 02:41 # 삭제

    이게 그러니까....

    교육과정상 틀렸지만 답은 맞아서 그런건데.
    사실 5x6이냐 6x5냐. 이거 저 학생과 면담해야 알거 같거든요.

    문제의 함정인지 유도인지, 문제도 개미 한마리에 6개 다리가 5마리가 있다고 적혀있으니까,
    그렇게 말하면 "다리 6개인 개미가 5마리"로 인지할 수 있는 가능성을 무시못하죠.

    교육의 중요 요소 중 가르친 것을 정교하게 assess하는 것도 있지만, 최종적으로 어떤 지식을 형성하느냐.
    결과적으론 잘못된 지식을 가질 가능성이 지금 높아보여요.

    채점교사야 뭐 용감했지만 문제 만든 교사는 이런 모호한 경우가 나올 것을 문제 설계에 반영못한거죠.
    차라리 네모박스 채우기 형태가 나았을텐데.
  • ㅠㅠ 2013/10/07 04:38 # 삭제

    명제가 참일수도 있고 거짓일 수도 있다면 거짓이라니....;;;;

    백년쯤 전엔 그랬죠. 백년 전부터는 그 경우를 "참 거짓을 판단할 수 없는 문장"라고 합니다....

    왜 이런 황당하고 자신 넘치는 글이 나왔는지 알겠네요...
  • 김고기 2013/10/07 05:41 #

    명제의 개념이 제대로 안 잡히셨네요. 본문에 명제는 명제의 개념을 정말 그대로 써놓은 겁니다. 당신이 생각한 것처럼 "참, 거짓을 판단할 수 없는 문장"이 아니라 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이기에 명제라는 단어를 써놓은 거라고요. 그런데 거기에 갑자기 제가 제시한 명제의 '역'을 갖고 와서 "참일 수도 있고 거짓일 수 있는 문장은 명제가 아니다."고 하면 개념으로서 명제가 제대로 안 잡혀 있어서 제가 제시한 명제를 전혀 이해하지 못한 겁니다. 당신 같은 사람들을 위해서라도 철저한 개념 교육이 필요한 겁니다.

    예를 들어 드리겠습니다.

    3<x, x=6. 이 명제는 참일 수도 거짓일 수도 있습니까? 당신은 이 명제의 참, 거짓을 판단할 수 없습니까?
    x^2=9, x=3. 이 명제는 참일 수도 거짓일 수도 있습니까? 당신은 이 명제의 참, 거짓을 판단할 수 없습니까?

    ac>bc, a>b가 명제인가를 판단하는 것과, 명제 ac>bc, a>b가 참, 거짓인지를 판단하는 것은 다른 차원입니다. 당신은 이것을 구분하지 못한 채 후자의 논의를 자의적으로 전자로 던져버린 겁니다.

    명제와 조건명제, 그리고 명제함수의 개념을 다시 공부하시기 바랍니다. 백 년 전이라는 잘못된 수학사 이야기는 그냥 수사로 치부하겠습니다.
  • ㅠㅠ 2013/10/07 15:13 # 삭제

    교사가 성실했는지 아닌지 발달단계를 지도했는지 추상직관을 부정했는지 둘다 있을법한 일인데 아니라고 줄기차게 말하는게 신기해서.... 아무튼.
    첫째. 참일수도 거짓일수도 있는 명제는 거짓이다
    둘째. "참과 거짓을 구분할 수 없는 명제는 명제가 아니다"는 원래 명제의 역이다
    라고 주장하신게 무슨 소린지 모르겠는데 (명제개념 어쩌고로 보아) 모순명제를 말하는 거라면 위의 명제는 모순명제가 아니고, (조건명제가 어쩌고로 보아) 전제불충분의 조건명제라면 그건 명제불성립입니다
    셋째. 예제(명제함수를 거론하면 예제도 명제함수로 써야죠)
    넷째. 백년보자 전에 프레게가 비슷한 얘길 하고 백년쯤 전에 누가 아니라고 했죠.
    누군진 숙제
  • li42 2013/10/07 07:50 # 삭제

    수학교육과가 수학과한테 무시받고 까이는 이유를 잘 보여주는 글이네요.
  • ok 2013/10/07 08:36 # 삭제

    댓글들이 산으로 가는 구만요
  • klapaucius 2013/10/07 09:14 # 삭제

    5 x 6 과 6 x 5 가 다르다고 가르치는 것이 교육학적으로 좋은 방법일 수 있다는데까지는 동의합니다. 그러나, 자칫 논리적 수학적으로 옳은 답이더라도 묻는 이의 의도대로 답해야만 옳은 답이라는 잘못된 선입견을 주지 않을까요? 그리고 기존의 지식을 가지고 응용하는 능력을 억누르게 되는 결과가 되지 않을까요?

    교과서에서는 이해의 편의를 돕기 위해 정확한 지식을 전달하지 않는 경우가 종종 있습니다. 예를 들어, 제가 정확히 기억하고 있다면 예전 고등학교 물리 과정에서는 (1학년 과정인지 그 뒤인지는 잊어버렸네요) 구면 거울이 평행한 빛을 하나의 초점으로 모은다고 배웠고, 그 초점 위치는 r/2 이라고 배웠습니다. 그런데 사실 평행한 빛을 하나로 모으는건 구면이 아닌 포물면이고, 구면거울의 초점위치는 곡률을 가지고 계산한 근사값입니다.

    이런 근사치가 곡면거울에 대한 이해에 도움을 줄 수는 있겠죠. 하지만 사실 기초 기하학과 반사각에 대한 이해만 있으면 평행한 빛이 r/2 위치의 초점으로 모이지 않는다는 것은 증명 가능합니다. 그렇다면 한 학생이 이를 가지고 선생님에게 반박할 경우, 그건 교과서의 의도가 아니니 너는 틀렸다고 답해야 할까요?
  • 김고기 2013/10/07 12:25 #

    본문은 초등교육의 특수성과 현실적으로 잘못된 선행학습이 이후 과정으로서 교육에 미치는 악영향을 전제하고 있습니다. 이에 따라 교사의 환류 여부가 중요하다고 제시했습니다. 따라서 학생이 두 식이 같다는 것을 인지하고 있을 경우 오답 처리하는 것은 잘못됐다고도 분명히 써놨습니다. “묻는 이의 의도대로 답해야만 옳은 답”이라는 표현은 오독입니다.
  • PFN 2013/10/07 09:19 #

    한마리당 다리 여섯개 * 다섯마리

    6*5

    반박해 보시죠

    애가 다리를 먼저 읽으면 왜 안되나요
  • ㅂㅈㄷ 2013/10/08 21:08 # 삭제

    얜 뭐라는거지?
  • summerligh 2013/10/07 11:54 # 삭제

    1. 자연수의 곱셈에서는 가환성이 성립한다.
    2. 이걸 수학적으로 엄밀하게 증명하는건 최소 대학 과정이다.
    3. 따라서 초등 교육 과정에서는 곱셈의 가환성을 "법칙"으로써 받아들이기를 요구할 수 밖에 없다.
    4. 우수한 수학적 직관을 통해 곱셈의 가환성을 배우기 전부터 파악할 수 있는 학생도 상당수 존재한다.
    4-1. 오른쪽 앞다리 5개 + 가운데다리 5개 ... 로 연산하는 과정 자체가 직관적으로 파악할 수 있는 가환성의 일례이다.
    5. 만약 이런 경우였다면 "틀렸다"고 지적하는게 교육에 있어 순서적 정합성을 강요하는 것 이외에 어떤 의의가 있는가?
    5-1. 학생 스스로 수학적 직관을 터득하는 사건 자체를 부정해야 하는가?

    초등 교육 과정에서 동수누가를 토대로 "틀렸다"라고 주장하는게 적절한지에는 의문이 드네요. 해당 교사의 결정을 비판하는게 그저 초등 교육의 특질을 이해하지 못해서 그런게 아닙니다. 페아노 공리계 위에서 엄밀하게 증명해나가는 과정이라면 논리의 비약을 지적할 수도 있겠지만, 이게 그런 경우는 아니니까요.

    여담이지만 "명제가 참일 수도 있고 거짓일 수도 있으면 거짓이다."는 좀 부적절한 표현인 것 같네요. 일부 명제(independent한)는 참/거짓 여부를 증명할 수 없지만, 그렇다고 그걸 거짓이라고 단언하진 않습니다.
  • 김고기 2013/10/07 12:38 #

    "한 가지 가능성은 저 학생이 이미 5×6이 6+6+6+6+6이 될 수 있다는 것을 알고 있었을 경우다. 만약 이 과정을 통해 풀었다면 과정에서는 벗어나지만 틀렸다고 할 수는 없다. 이 경우를 틀렸다고 한다면 분명히 잘못된 것이다."

    "물론 이렇게 풀면 틀렸다는 것이 아니다. 학생이 1×5×6으로 접근했다면 굉장히 훌륭한 것이다."

    무엇보다 우리는 저 사진만으로는 학생이 어떻게 접근했는지 알 수 없습니다. 굳이 학생이 옳다는 것을 전제하고 지속적으로 그런 가정을 삽이할 필요가 없는 겁니다. 저는 경험과 추론으로서 '구구단'만 외운 학생들이 겪는 문제에 대해 지적한 거고요. 본문에도 분명히 썼듯이 가장 중요한 건 학생이 어떻게 생각했냐는 겁니다. 제 전제가 틀렸다면 저 역시 당연히 틀렸겠죠.

    명제 문장은 중등 교육 과정에서 나오는 겁니다. 참, 거짓 여부를 증명할 수 '없는' 게 아니라 조건에 따라 참도 되고 거짓도 되는 명제는 당연히 거짓이죠.
  • summerligh 2013/10/07 14:09 # 삭제

    네, 결론은 컨텍스트가 부족하다겠죠. 다만 저는 현 초등 교육에서 동수누가를 적용하는 "방법론"을 올바른 것으로 단언하려는 뉘앙스가 느껴져서 - 동수누가 자체도 곱셈을 설명하는 방법론 중 하나지만 - 지적한겁니다. 전자든 후자든 "거미 한 마리" 혹은 "거미의 다리"라는 기호로 셈을 일반화/추상화를 한 뒤, 그걸 다시 한번 셈한건데, 어느 한 쪽을 부정하면 그 시점부터 이건 차원을 다루는 물리의 영역이죠.

    이런 이유에서 1 x 5 x 6이어야 맞다는 말도 이해는 하지만 쉽게 납득이 가진 않습니다. 거미가 5마리인 건 셈이지만 거미 다리가 6개인건 셈에서 온 게 아니라 수학적 선언이니 구분해야 된다는 걸 그 나이 학생들이 납득할 수 있겠나요... 마리 수를 세고, 모든 거미는 symmetric하니 마리 수를 추상화하는 셈도 틀린 방법은 아니라는 겁니다. 사실 구체적인 방법론 중 하나인 동수누가를 기준으로 더 일반화된 연산인 곱셈의 옳고 그름을 판단하는 것도 이상하지만.

    그 외에... 명제 관련해서 말씀하신 내용은 ∀에 대한 내용인가요. 서로 사용하는 용어가 좀 다른 것 같다는 생각이 드는데요. 참일수도 있고 거짓일수도 있다고 하면 보통 undecidable/independent한 경우를 이야기한다고 생각할 것 같습니다. 말씀하신게 (∀x in Z) (x > 0 or not x > 0) -> (not x > 0)를 의미하신거라면 제가 오해를 했네요.
  • H 2013/10/07 12:20 # 삭제

    파인만의 일화가 생각납니다. 파인만은 미적분을 학교에서 배우기전에 스스로 독학했는데, 남에게 과외를 받은게 아니라 자신만의 표기법, 자신만의 풀이법으로 풀어냈습니다.

    글쓰신분의 기준으로는 파인만의 방식도 틀린것이겠죠. 하지만 파인만은 훗날 자신만의 방법으로 문제를 풀다가 파인만 다이어그램을 만들어냅니다(알려진 다른 방법으로도 풀수있지만 그림으로 다 쉽게 풀어냅니다).

    닐스 보어의 일화도 유명하죠. http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=yhj4659&logNo=20135255382

    한국 교육에서 선행학습이 문제시 되고는 있지만 그것 자체가 나쁜것은 아니지 아닐까 합니다. 학생들을 일괄적으로 똑같은 시기에, 똑같은 방법으로만 배우도록 '강제'하는 것이야말로 지극히 나쁜 주입식 교육이 아닐까요?

    학생에 따라 어떤 것을 먼저 깨닳았을수도 있고 '다르게' 생각할수도있습니다. 이걸 채점을 통한 피드백으로 학생이 다른 생각은 추호도 못하게 막는 것이 정말 좋은 교육인가 의문이 듭니다.
  • 김고기 2013/10/07 12:26 #

    "한 가지 가능성은 저 학생이 이미 5×6이 6+6+6+6+6이 될 수 있다는 것을 알고 있었을 경우다. 만약 이 과정을 통해 풀었다면 과정에서는 벗어나지만 틀렸다고 할 수는 없다. 이 경우를 틀렸다고 한다면 분명히 잘못된 것이다."
  • 보더 2013/10/07 14:56 #

    결국 틀렸다고 한 다음에 피드백 과정이 있다면 괜찮다는 게 결론 아닙니까.
    그냥 귀찮아서 답지랑 비교한다음 곱표 친거면 필자도 '최악의 경우'라고 하고 있고 말이죠.
    저 교사도 그냥 △로 해 줬으면 무난하게 넘어갔을거 같기는 합니다만..
  • 2013/10/07 17:56 # 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 2013/10/07 18:01 # 비공개

    비공개 답글입니다.
  • 2013/10/07 19:12 # 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 흠... 2013/10/07 19:24 # 삭제

    1. 우리는 저 학생이 어떤 교육을 받았는지 알 수 없다.
    ㄴ선생님이 이러이러한 것을 '동수누가'의 개념이라고 하며, 때문에 너희는 반드시 이렇게 답을 작성 하여야 한다라는 교육을 했다는 사실이 있는가? '동수누가'와 ' 순서'에 관한 교육을 수업 시간에 충실히 이행 하였냐. 는 것이다. 만약 그렇다면 동수누가의 형태로 답안을 작성하는 것이 선생님과 학생간에 약조된 문제의 또다 른 '조건'이 되므로 왈가불가 할 것이 아니다.
    ㄴ'교환법칙'에 대하여 배우지 않았으므로 반드시 동수누가의 형태로 나타내어야 한다? 그렇다면 저 학생이 반드시 '동수누가'의 개념으로 곱셈을 배웠다고 단정 지을 수는 있는가? 수업 시간에 동수누가란 앞의 수를 뒤의 수만큼 더한 것이라고 배웠을까?
    5*6은 5를 6번 더한다는 표기법이야 라고 가르 쳤다면 할 말이 없지만 교사의 자질에 대해서는 의심이 가는 부분이다. 동수누가의 개념을 적용 하더라도 5*6은 5를 6번 더한다는 표기법이 아니라 한 쪽의 실수를 다른쪽의 실수만큼 더한다는 것이 동수누가형식의 표기법이기 때문이다. 6+6+6+6+6=6×5=5×6의 식은 교환법칙의 개념이지만 5+5+5+5+5+5=5×6만 동수누가의 개념인 것이 아니라 6+6+6+6+6=5×6으로 표기하는 것 또한 동수누가를 통한 표기법이기 때문이다. 두 식이 합쳐지기 전까지는 교환에 대한 어떠한 의미도 담지 않고 있으며 단지 동수누가를 나타낼 뿐이다. 좌변의 덧셈을 이행 하기 전까지 두 식은 완전히 별개의 식이기 때문이다. 동수 개념에서 순서가 함께 정의 되는 부분은 '동수누감' 에서이다 30-5-5-5-5-5-5 를 30÷5로 표기하도록 하는 것이동수누감 형태의 표기법인데 동수누감에서는 동수누가에서와 달리 그 순서가 중요시 되기 때문이다. 기본적으로 동수누가에서는 순서가 정의 되지 않지만 동수누감의 교육을 진행하기 위해 가르치는 자들이 교육에서의 편의를 취하기 위해 흔히 저지르는 실수가 동수누가에 순서의 개념을 부여해서 가르치는 것이다. 이는 틀린 교육이라고 볼 수는 없지만 정통적인 동수누가에서는 벗어난 교육이다. 때문에 저 답이 틀렸다고 할 수는 있지만 이것은 다분히 교사 중심적인 관점에서 교육이 발생하였기에 초래된 것이지 동수누가 개념의 원기준을 따진다면 저또한 올바른 표기법이다.
  • 김고기 2013/10/07 20:38 #

    우리는 저 학생이 어떤 교육을 받았는지 알 수 있습니다. '교육과정'이 있기 때문입니다. 해당 과정은 '곱셈'이라는 '개념'을 '처음' 배우는 학생을 위한 과정입니다.

    http://www.riss.kr/search/detail/DetailView.do?p_mat_type=be54d9b8bc7cdb09&control_no=e4c115e865c165d3ffe0bdc3ef48d419&naverYN=Y#redirect

    후자에 대해선 개념을 처음 인식하는 학생에게 성인의 잣대를 그대로 들이댈 수 없으므로 이의 방법론을 취하는 것이고(초등 수학교육), 그렇다 하더라도 학생이 두 경우가 인식했다면 정답 처리하는 게 옳다고 본문에 분명히 써놨습니다.
  • 흠... 2013/10/07 19:34 # 삭제

    2. 저 학생이 배운대로 행하지 않았다고 하여 틀렸다고 만은 할 수 없다.
    ㄴ1+2+3+...+98+99+100의로 표기된 계산을 101×100÷2로 행하는 것은 표기법 상으로는 올바른 계산이 아니다. 원식은 1부터 100까지 차례로 더하라는 표기법이며, 원칙적으로만 따진다면 1+3을 먼저 계산하여서도 아니된다. 두 식은 계산의 결과값이 같은 것이지 전혀 다른 표기식이기 때문이다. 때문에 이는 표기된 계산이 아니다. 그러나 우리는 이것을 틀렸다라고는 할 수 없다. 그 접근 방식이 다를뿐 목적은 동일하기 때문이다.
  • 김고기 2013/10/07 20:33 #

    "한 가지 가능성은 저 학생이 이미 5×6이 6+6+6+6+6이 될 수 있다는 것을 알고 있었을 경우다. 만약 이 과정을 통해 풀었다면 과정에서는 벗어나지만 틀렸다고 할 수는 없다. 이 경우를 틀렸다고 한다면 분명히 잘못된 것이다."

    "물론 이렇게 풀면 틀렸다는 것이 아니다. 학생이 1×5×6으로 접근했다면 굉장히 훌륭한 것이다."
  • 흠... 2013/10/07 19:38 # 삭제

    3. 명제가 참이될 수도 거짓이 될 수도 있다면 거짓이다?
    ㄴ'명제'란 참과 거짓을 명확하게 판단할 수 있는 식이나 문장을 칭하는 용어이다. 특정 식이 참이 될 수도 거짓이 될 수도 있다면 우리눈 그것을 '명제'라 칭하지 않는다.
    ps) 모바일이라 제대로 적을 수 없어 논리 순서가 꼬여 있을 수도 있으니 양해하여 쥬시기 바란다.
  • 김고기 2013/10/07 20:32 #

    x^2=9, x=3
  • ㅁㄴ 2013/10/08 13:50 # 삭제

    아무래도 김고기님은 명제의 개념부터 똑바로 아셔야 할것 같네요.
    x^2=9 일때 x=3은 거짓인 명제입니다
    x=3 일때 x^2=9는 참인 명제이고요.
  • 창현이 2013/10/07 21:04 # 삭제

    재밌네요.
    고2 이과 학생에겐 필요한 내용인것 같아요.
    솔직하게 털어놓아서 수능을 보는 우리에게 수학은 개념자체로서 배우는 것이 아니라,
    개념을 떠나서 그런 유형의 문제가 익숙하기 때문에 잘 푸는 것이잖아요.
    네이버 캐스트의 글을 읽거나 도서관에 꽂혀있는 책을 봐도 그점을 이해할것 같아요 ~
    본문의 "내가 수학을 공부하는 건지 철학을 공부하는 건지 모르겠다." 라는 말도
    과거에 철학자가 곧 과학자였고 과학자중 수학자도 있었기 때문에 그런것 같아요.
    극한 배울때도 왠지 심오하고, 이건 철학에 가까운것인데 왜 수학에 있는가 생각해본적도 있는것 같아요.
    페이스북 글로 유입해 들어왔는데 좋은글 보고 갑니다.
    평안하세요 ~
  • 긁적 2013/10/08 03:18 #

    제가 수학을 제대로 안 배워서 그런데 -_-;;;
    페아노 공리에서 5 X 6이랑 6 X 5를 같은 결론을 내는 다른 과정으로 간주하나요? 그냥 인터넷에서 구한 자료로는 다른 과정으로 간주할 것 같은데 혼자 생각이라 확실치 않아서 -ㅅ-
  • 긁적 2013/10/08 03:48 #

    음. 생각해보니 -_-;;;
    n X S(m) = n + ( n X m ) = ( n X m ) + n = S(m) X n 이네요. 간단하잖아..;;
    이러면 약간 문제가 될 수 있다고 봅니다. 결국 곱셈기호는 곱셈기호의 왼쪽이나 오른쪽에 있는 수에 대해 어느 수를 동수로 간주할지에 대해 어떠한 정보도 주지 않네요. 위 예시에서의 곱셈기호는 곱셈 기호의 어느 수가 동수인지를 알려주는 역할까지 하기 때문에 곱셈의 정의와는 다른 기호를 쓰고 있는 것으로 보입니다.

    -ㅅ-... 뭐 초딩들 교육에 이렇게까지 할 것은 없지만....
    만약 제가 이야기한 게 맞다면 제 결론은 선생이 잘못했네 (.................) 가 되겠습니다...;;;;;

    PS : 다만!!!!!!!!! 6 + 6 + 6 + 6 + 6으로 결론을 내는 것이 중요하다는 부분에는 당연히 동의 -_-/ 뭐 사실상 제가 이야기한 것 역시 포스트 내용에 반영되어 있고..;;
  • J H Lee 2013/10/08 10:15 #

    곱셈의 정의를 제대로 이해하고 있는가 하는 접근으로서는 그럴듯하다고 봅니다. 예전에는 곱셈을 그저 기계적으로 풀다가 곱셈의 정의를 알고 나서 깨달음을 얻었던 경험이 있어 이 글이 무슨 이야기를 하는지 알 것 같습니다.
  • nausicaa 2013/10/08 14:39 # 삭제

    글쓴 분의 곱셈을 가르치는 방법에 대한 건 이해가 갑니다. 하지만 제가 이 채점을 싫어하는 이유는 그런 것이 아닙니다.

    전 글쓴 분처럼 초등학교 교사를 신용하지 않습니다. 전 똑똑히 기억합니다. 제 5학년 시절 담임 선생님이 습도기 읽는 법을 몰라서 매 시간마다 틀렸던 것을요. 배운 것 사방이 오류 투성이었습니다. 하지만 저 또한 학생이라 당시에는 알아챌 수 없었고, 동급생들도 몰랐기에 그냥 넘어가게 되는 거죠. 대부분은 그 시절을 잊겠습니다만, 저처럼 특이한 아이가 있다면 몇 년 지난 후에 "뭐야, 그 쌤 틀리게 가르쳤잖아?"하고 혼자 깨달을 날이 올 수도 있고요.

    심지어 한 과목을 특별히 공부했다는 중학교 선생님들조차 시도 때도 없이 틀리더군요. 중학교 시절 내내 선생님과 답지를 붙잡고 씨름했던 기억이 있습니다. 자신이 틀렸다는 것을 인정하고 싶어하지 않아하는 선생님들도, 증거를 계속 찾아오면 어쩔 수 없이 답지를 고치곤 했죠. 그게 틀렸다는 걸 아는 건 제가 선행학습과 사교육을 받았다는 증거이겠으나, 그건 이 글의 내용과는 무관한 것이겠죠?

    아이가 제대로 이해하고 풀었는가, 그렇지 않은가? 물론 그건 중요합니다. 하지만 전 다른 의문을 제기하고 싶네요. 1. 이 교사 자체가 곱셈 교육법을 제대로 알고 있는가? 2. 올바르게 곱셈을 알아듣도록 가르쳤는가? 3. 곱셈의 풀이법을 적는 것에 대해 분명히 알려주었는가? 4. 자신이 신념을 가지고 만든 채점기준에 의해 채점을 하였는가?

    전 이 모두에 대해 확신을 못하겠습니다. 전 기본적으로 과연 이 교사가, 곱셈의 개념을 풀어서 자세하게 설명을 했을지조차 의문입니다. 제 초등학교 2학년 기억은 구구단을 틀려서 혼났던 기억들뿐이거든요.

    선생님:"13번 일어나 봐. 7단 외워봐"
    13번:"어... 칠일은 칠.. 칠 이는........"
    학생들:"ㅋㅋㅋ쟤 7단도 못 외워"

    그러므로 제게 자연스럽게 여겨지는 상황은 이렇습니다. 교사가 교육의 사명감을 가지고, 아이에게 개념을 똑바로 가르치기 위해 틀렸다고 했다기보다, 자신이 직접 만들지 않은 채점 기준을 보고 틀렸다고 한 상황입니다. 아니면 수업할 때는 정작 그렇게 가르치지 않고선, 시험지 채점할 때는 교육부에서 내려온 문서를 기억해내고 꿍시렁 대면서 채점했을 수도 있겠죠.

    전 이 글의 첫문장부터 강한 반발감을 느꼈습니다. 많은 분들이 글을 다 읽지도 않고서 무턱대고 욱하는 이유를 전 알겠습니다. "결론부터 이야기하자. 위 그림을 통해 알 수 있는 건 사실 '단 하나'밖에 없다: 교사가 매우 훌륭하다."

    왜냐면, 전 전혀 모르겠거든요. 추측할 수 있는 건 수도 없이 많고, '사실 단 하나'라고 단언할 수 있는 어떤 스토리도 캐치하기 힘듭니다. 저만 해도 수학 교육에 의욕을 가진 초등학교 교사는 6년 내내 단 한 번도 만난 적이 없거든요. 초등학교 4학년 때인가? 수학 경시반에 뽑힌 적이 있습니다. 그때 제가 마주한 건 교과서에서 가르치지 않는 흥미로운 수학 이야기 같은 게 아니었죠. 대신 방정식 문제만 빼곡한 무책임한 초등학생용 수학경시문제집이었습니다. 전 학교에서 배운 대로, 답을 추측하고 값을 키웠다가 줄였다 하며 바로 잡아가면서 답을 구해냈습니다.(일차방정식 풀이법을 배우기 전엔 이렇게 풀죠.) 와, 그런 걸 남아서 열 장쯤 푸니까 정말 돌아버리겠더라고요. 무슨 노가다하는 느낌이었습니다. 그리고 던져주는 답지를 받아서 혼자 매기고 집에 가고.. 제게 초등학교 시절 교내 수학경시반은 그런 기억뿐입니다. 조금 더 시간이 지나니까 '등식의 성질'과 '일차방정식 풀이법' 같은 걸 배우더라고요? 그때 수학에 확 질려서 한 동안 수학을 싫어했었죠. 그래도.. 나름 그 학교에서 수학을 좀 좋아한다는 선생님이 그 반을 맡지 않았을까요? 아니면 그런 사람이 아무도 없어서 정치싸움에서 밀린 힘없고 의욕 없는, 빨리 퇴근이나 하고 싶은 쌤이 맡았겠죠?

    저 종이 한 장에서 뭘 알 수 있을까요? 덧붙여진 글도 학생 본인의 글도, 선생님의 글도 아닙니다. 선생님이 준 메시지란 동그라미 하나, 세모 하나, 체크 하나밖에 없고, 학생이 준 메시지는 사실 그것보다 더 적을 수도 있습니다. 왜냐면 학생의 답으로 미루어 볼 때, 학생은 아직 자신의 생각을 남에게 제대로 전하는 법을 전혀 모르거든요. 제가 보기에 8-(2)번 답이나 9-(2)번 답은 전혀 의미가 없습니다. 그냥 구구단 한 문장 잘라서 뒤에 "으로 알아 보았습니다."라고 적어 놓은 것이죠. 뒤의 한글은 아무런 의미가 없습니다.

    아이에게 촛점을 맞춰 봅시다. 아이가 어떤 시각으로 이 문제를 풀었냐는 것으로요. 만약 이 학생이 곱셈의 개념을 제대로 알고 있는지, 기초를 평가하는 것이라면, 채점 기준이 달랐어야 한다고 생각합니다. 사전에 수업을 할 때, "풀이과정을 적을 때, 4x9 = 4+4+4+4 ... = 36이라고 적으세요."라고 가르쳐주고, 그렇게 적었다면 이해가 갑니다. 하지만 4X9=36이란 문장에서는 전 글쓴 분이 말씀하신 교육법 같은 게 느껴지지 않습니다. 그런 걸 원했다면, 8-(2)도 틀렸다고 해야 하지 않나요? 8-(2)는 맞고, 9-(2)는 틀린 것이 너무 애매한 평가기준이라고 생각하지 않습니까?

    학생이 구구단의 개념을 미리 알고 있다고 가정합시다. (전 그런 것 같습니다.) 본문에 이런 글이 있죠. "아마 이 경우가 맞다면, 학생은 아무렇지도 않게 5랑 6이네? 30 했을 것이다. 아마 (해당 과정에 비해) 고도의 개념을 갖고 있는 우리 성인들도 대부분 이렇게 생각했을 것이다." 그렇습니다. 만약 그것을 채점하는 것이 아닌, 진짜 기초 개념을 가르치는 중이었다면, "이 경우 나는 저 학생을 위해서라도 오답 처리하는 게 맞다고 본다."까지도 전 동의할 수 있습니다. 하지만, 정말 그렇다면, 8-(2)도 오답이라고 보지 않으십니까? 전 구구단을 알고 있다면, 학생이 8-(2)를 풀면서 개념에 대한 생각이란 걸 과연 하긴 했을까 싶습니다. 아마 8번과 9번을 완전히 똑같은 과정으로 풀었을 겁니다. 똑같이 푼 문제를, 답보다 '학생이 어떤 생각을 가지고 풀었는가'를 중점적으로 판단해서 채점한다면, 당연히 채점 결과도 같아야지요.

    결국 제가 결론지을 수 있는 건, 이 채점기준은 매우 모호할 뿐더러, 혹시 제가 모르는 정확한 채점기준으로 이끌기 위해 교사가 체계적인 교육을 했다 하더라도 그건 제가 알 수 없는 점이라는 겁니다. 이 종이 한 장으론 정말 알 수 있는 것이 없습니다.

    본문과 댓글에선 수많은 가정을 세우며, "그렇다고 한다면 이렇다"라고 말씀하시는데, 그건 이 글의 첫문장에 비하면 뒷걸음질처럼 보입니다. 정말 전 "하나밖에 없다"며 저렇게 단언하지 못하겠습니다. 제가 앞에 제시한 것이나 글쓴 분이 제기한 것 모두 하나의 가설일 뿐이며, 하나로 확정짓기엔 상황 증거가 부족하고, 고로 확실히 알 수 있는 것은 없습니다. 그러므로 저걸 찍어 올린 사람이 억울해 하는 것도 충분히 이해할 수 있는 것이며, 선생님이 (만약 그랬다면) 받아들이지 않는 것도 이해할 수 있는 일입니다.
  • 김고기 2013/10/08 16:12 #

    고견에 진심으로 감사드립니다.

    우리 둘 다 판단 과정에 같은 요소가 개입되어 있습니다. 바로 자신의 경험이 판단의 중요한 요소로 쓰였다는 겁니다. 그래서 저는 글쓴분의 경험에 입각한 판단을 충분히 이해하고 존중합니다. 글쓴분이 전혀 모르는 것도, 제가 추측 가능하다고 했던 것도 분명히 우리가 서로 다른 경험에 기반을 두고 있기 때문입니다.

    과거에 수준 이하의 교육과 교사들이 팽배했던 것도 사실입니다. 저 역시 그런 교사들을 거치며 자랐습니다. 그러나 그 기억을 현재로 그대로 끌어와 적용하는 건 한계가 너무 크지 않나 생각합니다. 분명히 과거의 교육과 오늘날의 교육은 다릅니다. 또한 과거의 학생과 오늘날의 학생도 다릅니다.

    오늘날 초등교육에서 선행학습은 큰 문제입니다. 사실 선행학습이 제대로 이루어지면 모르겠는데, 초등 인지나 개념 정립 없이 그저 외워만 오는 것이 현실입니다. 바로 위 수학을 가르친다면서 '동수누가'가 뭔지도 모르는 사람처럼요. 오죽하면 "이거 다 학원에서 배웠지? 넘어간다?" 하는 류의 도시전설이 떠돌겠습니까. 이렇게 되면 당장은 빨라 보여도 수학에 대한 흥미를 잃어버리기 십상입니다. 글쓴분의 학생 시절 역시 이의 경우로 볼 수 있을 거 같고요.

    마찬가지로 문제가 하나 있는데, 부모의 잘못된 개입입니다(부모가 개입하는 게 잘못되었다는 게 아니라, 교육에 대한 접근 방식을 이야기하는 겁니다). 선행학습도 이의 연장선상이겠지요. 초등교육에선 평가나 줄세우기보단 발달 과정이 가장 중요하게 여겨짐에도 많은 부모들이 여전히 '비교'를 원합니다. 내 아이가 다른 아이보다 우수하단 걸 끊임없이 교사를 통해 확인하려고 합니다. 그래서일까요. 혹여 채점이 이상하기라도 하면 전화는 물론이요 찾아오는 것도 부지기수입니다. 중학교만 되어도 사실 학부모가 정답 여부를 가리는 건 어렵지만, 초등교육은 누구나 할 수 있을 것처럼 보이기에 학생이 아닌 학부모에게 해당 과정의 개념과 목적을 전달해야 하는 경우가 생깁니다. 물론 잘못된 채점을 한 교사는 당연히 반성해야 하고 비판 받아야 합니다. 그러나 이 경우가 잘못되지 않은 채점에서도 일어납니다. 어떻게든 내 아이의 점수를 올려보려는 마음은 이해하지만, 과연 그 마음이 장기적으로 아이에게 도움이 될지 모르겠습니다.

    그래서인지 현장의 어떤 교사들은 학생에게 선행학습한 티가 나면 문제가 보여도 웬만하면 그냥 넘어가려고 합니다. 굳이 논란을 만들고 싶어하지 않고, 학부모를 설득하고 싶지도 않기 때문입니다. 저는 이러한 판단에서, 누가 봐도 '이상한' 채점을 한 저 교사의 심정이 이해가 된 겁니다. 의지가 없고 열정이 없는 교사라면 그냥 정답 처리하고 넘겼을 겁니다. 그렇게 하면 자기도 편하고 학부모도 편합니다. 발달에 따른 교육 과정에 대한 인지 없이 오직 채점 기준표를 보고 채점할 교사라면 5×6과 6×5가 어떻게 다른지조차 모를 겁니다. 저는 도무지 그 상황이 상상조차 되지 않습니다. 이것이 제게 자연스럽게 느껴지는 상황입니다.

    후자의 풀이 과정 이야기는 교육 과정을 보시면 충분히 납득이 되실 겁니다.

    첫 문장을 과도하게 쓴 건 사실 어느 정도는 의도한 것이었습니다. 위 사진에 대해 어느 커뮤니티에서 교사에게 촌지를 안 줬다느니, 학부모가 학교에 밉보였다느니 하는 등의 댓글을 보고 난 뒤 그에 대한 반작용으로서 만든 문장이기 때문입니다. 따라서 첫 문장에 비해 전체 글이 뒷걸음질인 것 역시 제대로 보신 게 맞습니다. 그러나 이런 맥락을 본문을 통해 알 수 없는 점, 또한 교육 과정과 교육 현실에 대한 배경지식이 없는 사람이 보기에는 매우 한계적이고 반발감이 느껴질 수 있는 문장이란 건 분명하기에 겸허히 지적을 수용하겠습니다.

    다시 한 번 고견에 감사드립니다.
  • 0151052 2013/10/08 17:08 #

    개미 5 마리 x 다리 6개 = 다리 6개 x 개미 5마리 그냥 개념상으로도 똑같을 수 있는 것 아닌 가요?
    제가 난독증이 있는건지 좀 당황스럽네요. 다시 잘 읽어보겠습니다.
  • 0151052 2013/10/08 17:12 #

    아 이제 이해했습니다. 동생이 초등학교 선생님이라서 물어보고 알았네요.
  • 자언킹 2013/10/08 17:38 # 삭제

    이틀만에 와서 반응보니 그래도 많은 분들이 공감을 해주셔서 병신률(병신의 수/전체의 수)이 많이 줄어서 무식내가 많이 희석되었군요. 누구라고 일일이 말은 안하겠지만 자기들이 병신이라고 지칭당한 것 같은 사람들은 이렇게 많은 분들이 공감하는 이유가 갑자기 글쓴분이 알바를 고용했니 뭐니 하는 음모론이라고 생각하는게 아니면 본문을 제대로 이해하려는 노력이라도 해보기 바랍니다. 그렇게 어려운 글은 아니니까요. 뭐, 몽몽이나 위에 수학으로 밥벌어서 입에 풀칠하는 분은 소용없어보이긴 하지만요. 알량한 자존심때문에 끝까지 무식하다는 말 들어가면서 살아가려면 뭐 알아서들 하시고요.
  • ㅇㅇ 2013/10/10 13:41 # 삭제

    필요 이상으로 과격하시네요.
  • ㅇㅇ 2016/10/07 16:19 # 삭제

    후빨지존이다 ㅋㅋ
  • 2013/10/08 19:00 # 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • L 2013/10/11 08:45 # 삭제

    여기서부터 시작되는 인간의 패배주의와 융통성없는 원리원칙, 이중잣대......라고 생각하는건 저뿐인건가요.

    진짜 수학자 될것도 아니면서, 수 자체에 대한 개념만 제대로 잡히면 되지;;

    적어도 아이가 왜 5X6으로 계산했는지부터 해설하게 하는게 최우선 과제가 아닐까 싶은데.


    적어도 대통령네 아들래미나 삼성그룹네 증손주가 저렇게 했다고 해서 틀렸다고 체크할것같이 보이지가 않아보이는 개드립 해설로밖엔 생각되지 않네요.
  • 뭐지 2013/10/11 21:04 # 삭제

    저 위에 자언킹이라는 분 왜이리 말이 험함;
    뇌가 있으면 반박을 해보세요. 개미 5마리가 발이 6개씩 달렸으니 5 x 6하면 되겠지라고 하셨는데, 5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 라니까요? 되긴 뭐가 된다는 건데요? 뭔 가능성을 무시해요? 발이 6개달린 개미가 5마리 있으니 5 x 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 해서 개미가 30마리일 가능성이 있다는건가요? 님같은 뇌없는 멍청이들이 아무리 좋은 글 써주고, 좋은 조언해줘도 알아먹지를 못하니 대한민국이 병신이 되가는겁니다. 원문 글쓴분처럼 좋게 말해줘도 알아먹지를 못하니 강하게 말하는거니까 좀 알아먹으세요. 이 병신아..
    자언킹님이 쓴 글중 하나인데, 저 진심 이거보고 어이가 없었습니다. 5x6=5+5+5+5+5+5=30이라는거 누가 정한겁니까? 학생이 그런 의도로 썼는지 어떻게 압니까? 학생이 5x6이라고 쓴게 '5마리의 발이 6개 달린 개미'라고 생각해, 그냥 생각난 순서대로 5x6이라고 썼다면, 이 학생은 6개의 다리가 5마리에게 붙어있다. 즉 6+6+6+6+6=30이라고 계산한 겁니다. 저희는 5x6이나 6x5나 6을 5번 더하나 5를 여섯번 더하나 같은거라는것을 이해하고 있을겁니다. 즉 5x6을 6+6+6+6+6=30이라고 이해하는것이 이상하지 않다는 것을 알고있죠. 학생은 그저 한글의 순서를 바꿔서 생각했을 뿐입니다. 결코 '5개의 다리가 달린 돌연변이 개미 6마리' 라서 5x6이라고 쓴 뒤 5+5+5+5+5+5=30이라고 쓴게 아니란 말입니다.
  • 뭐지 2013/10/11 21:07 # 삭제

    혹은 개미의 왼쪽 앞다리가 5개, 오른쪽 앞다리가 5개.. 이런식으로 개미의 다리를 '어디에 달려있느냐'로 구분했을지도 모르죠. 그러면 이 생물에 지대한 관심을 가지고 관찰해 이런 답을 내놓은 학생을 틀렸다고 말할건가요? 다리의 위치에 따른 집합으로 답을 구하면 그건 틀린겁니까? 집합을 개미에 맞추고 답을 풀라고 문제에 명시해 놓지도 않았는데 말이죠.
  • 뭐지 2013/10/11 21:12 # 삭제

    자언킹님은 완전히 5x6은 5+5+5+5+5+5로 계산해야 한다는게 머리에 틀어 박히신 모양인데, 좀 유연하게 생각하고 타인의 말을 받아들이는것을 배우시는건 어떤가요? 선생님이 저 학생에게 5x6=6x5를 가르치지 않았다고 쳐도, 그 선생님이 5x6은 5+5+5+5+5+5=30이라고 가르쳤다고 쳐도, 5x6이 6+6+6+6+6=30이 결코 될 수 없다고 가르치지는 않았을 겁니다. 학생은 그저 어떻게 계산하든 같을거라고 생각해서 그렇게 썼지만, 선생은 자신이 잡은 틀에서 학생이 벗어나는것을 억지로 붙잡으려고 저렇게 채점했다고밖에 보이지 않아요. 저 채점은 잘한 게 아닙니다. 오히려 학생의 사고를 묶어놓은거죠.
  • Cene 2013/10/14 14:42 #

    앞으로 고3 수학능력평가에 로피탈 쓰는새끼들 다 낙제시킵시다. 건방지게 어디 교육과정에 안나온 방법을 써서 풀어!
  • WHY군 2013/10/14 20:56 #

    다리6개씩 5마리 있는것 6*5
    5마리가 다리6개씩 있는것 5*6
    으로 생각할수 있으니 둘다 맞게 해야 된다고 생각합니다.
  • WHY군 2013/10/14 21:29 #

    제 생각으로 아이는
    개미가 5마리가 있고
    [ (개미)+(개미)+(개미)+(개미)+(개미) ]
    개미의 다리는 6개
    [ (개미다리 6)+(개미다리 6)+(개미다리 6)+(개미다리 6)+(개미다리 6) ]
    로 구했을수도 있다고 생각합니다
    그러므로 6+6+6+6+6 으로 볼수도 있지 않을까요?????
  • Germoid 2013/10/23 18:51 #

    애 수학 노이로제 걸리기 딱 좋은 사례네요
  • gmmk11 2013/12/27 12:41 # 삭제

    애 하나 수포자 만들겠네
  • 검색하다가 2014/01/27 02:26 # 삭제

    안녕하세요 제가 정말 좋은 글을 찾은 것 같습니다.
    일단 저는 수학을 포기하고 살다가 근래에 늦바람이 들어 다시 숫자에 대한 개념부터 잡아가고 있는 직장인입니다.

    다름이 아니라 말씀대로 한다면 2 * √2 는 어떤 식으로 받아들여야하는지 모르겠습니다.
    √2 * 2는 알겠습니다만, 그 순서를 바꾸면 √2가 횟수를 나타내는 개념이 되어서 직관적인 파악이 잘 안되네요.
    뭔가 제가 놓치고 있는 부분이 분명히 있는데 그걸 못잡겠어서 답답한 기분이 들어 이렇게 지나가다가 도움을 부탁드립니다.

    곱셈의 의미는 덧셈의 반복적인 횟수로 정의된다는건 알겠습니다.
    유리수의 곱셈은, 1/n을 "n번 더해서 1을 만드는 수"라고 나름대로 받아들였구요. 그래서 n1/n2 는 n1*(1/n2) 이런식으로 분해해볼 수 있으니 유리수의 곱셈도 이해가 갑니다.
    문제는 무리수의 곱셈인데...
    무리수*자연수는 자연수가 횟수를 의미하는 것으로 다가오는데 자연수*무리수는 어떻게 생각해야하나요?

    나름대로 검색 많이 하고 다녔는데 찾는게 어렵더라구요. 뭘 잘못 생각하고 있는지 힌트만이라도 주시면 찾아서 공부하겠습니다.
  • 김고기 2014/02/07 17:05 #

    늦게나마 답변 드립니다.

    의미를 전달하는 과정에서 혼선이 있었던 듯합니다. 본문은 '수학'보다는 '(초등) 수학교육학'에 대한 내용이며, 따라서 "곱셈의 의미는 덧셈의 반복적인 횟수로 '정의'"되는 게 아닙니다. 다만 이 개념을 처음 접하는 학생에게 개념을 전달하는 방법으로서 이 개념이 사용되는 것이지요. 정리하자면 개념을 전달하기 위한 과정으로서 개념이라고 생각하시면 되겠습니다. 실제 교과과정에서도 동수누가를 통해 인지시킨 후 배, 묶어세기, 곱셈표 등의 새로운 개념을 지속적으로 제시합니다.

    아쉽게도 제가 해당 분야 전공자가 아니라 정답을 드릴 수는 없을 것 같습니다. 제가 드릴 수 있는 말씀은 곱셈의 정의부터 다시 시작할 필요가 있다, 이 정도가 한계선인 듯하네요. 감사합니다.
  • zxcv 2014/04/13 18:30 # 삭제

    언어를 포장의 기능으로 사용하면 이런 이상한 주장도 그럴듯하게 꾸며지게 되죠.

    개념을 잡게 하기 위한 선생의 의도대로 문제를 풀지 않았으므로, 틀리다고 채점한 선생이 교육적인 측면에서 옳다.
    긴 문장을 한 마디로 요약하자면 이렇게 되겠네요.

    우리가 공부를 하는 이유 중 하나는 문제를 해결하는 능력을 배양하기 위함이지 문제를 낸 사람의 심리상태를 파악하기 위함이 아닙니다.
    물론 출제자의 의도를 파악해야 한다는 이야기가 있지만, 그것은 문제를 푸는데 있어 접근 방법의 시작을 말하고자 함이지,
    결코 풀이 과정에서의 개입을 염두해 둔 소리가 아니지요.

    '수학이라는 것을 처음 접하기에 이 과정에서 핵심적인 것은 중요한 개념을 '바르게' 정의하는 것이다.' 본문에서 직접 언급하셨더군요.
    곱셈이라는 본질적인 개념은 앞뒤 순서를 바꾸어도 변하지 않는다는 것입니다. 이것은 역시 본문에서
    언급하신대로 정의에서부터 출발하여 공준과 공리를 거쳐 비로소 도달하게 된 정리이지요.

    헌데 이런 불변의 개념을 무시하고 5 x 6과 6 x 5이 틀리다고 채점했다는 것은 학문의 성업을 이루기 위한 과정으로서의 시험이 아니라
    그저 자신의 권위를 표현하기 위한 시험으로 전락시켜 버린 행동이 됩니다. 여기서는 선행학습을 했느냐 하지 않았느냐가 중요하지 않아요.
    했다면 배운 것을 사용한 것이므로 칭찬할 일이고, 하지 않았다면 문제 풀이 중에 5 x 6과 6 x 5가 같음을 깨달았으니 역시 칭찬할 일이지요.
    바라봐야 할 부분은 선생이 과연 '교육'이라는 것을 올바르게 인지하고 있느냐는 것입니다.

    문제 풀이에서는, 어떠한 외부적인 개입 없이 문제에 집중해야 타당합니다. 그런데 선생의 의도라니요? 올바른 곱셈 개념을 토대로
    올바르게 정답을 유추해 낸 학생에게 이 문제를 낼 때의 선생은 어떤 생각이었는지 몰랐으니 틀린 것이다. 라고 말하는 게 잘했다니요?
    '다리 여섯 개 개미 다섯 마리와, 다섯 마리의 개미는 각각 다리가 여섯 개다.'는 말장난에 불과한 것을 이미 옳은 곱셈의 개념을 놓고
    다시 옳지 않았다는 방식으로 끌고가 논하다니요?

    모든 것은 개념에서 부터 시작합니다. 개념과 정의가 올바를 때 만이 비로소 올바른 결과에 도달하는 것이지요.
    그것을 진선진미라고 합니다. 모든 사회적 문제는 그것이 옳은 개념인지 아닌지를 스스로 분간하지 못하는 순간 발생합니다.

    언어를 궤변을 옹호하는데 쓰지 마십시오. 작성자께서는 올바른 개념을 잡는 게 무엇보다 중요해보입니다.
  • 낙류 2014/12/15 02:46 # 삭제

    지나가다 갑자기 들려 한자 적어봅니다.
    저는 수학을 제대로 배우지 못한 사람이지만 저 답이 틀렸다고 볼수는 없는 것 같습니다. 일단 출제자가 원하는 답을 할 수 있도록 문제를 명확하게 했어야 하는데 그러지 못한 것 같습니다.
    답의 여지를 충분히 남겨 두었음에도 불구하고 자신이 생각지 않은 것이니 '이건 답이 아니다'라고 주장하는 것은 잘못된 교육 방식인 것 같습니다. 수학이란 답이 명확해서 좋아하는 학문이지만 그 답으로 이르는 길은 하나라고 단증할 수 없음이 이미 많은 사례들로 증명되고 있습니다. 다만 그 길이 보편적이 아니어서 상대를 설득시키지 못한다고 해서 답이 아닌 것은 아니고 미제로 남아 있다가 훗날 다시 증명된 사례들도 많으니까요.
    학생이 그러한 답을 내렸을 때 충분히 선생님을 설득 시키지 못했다면 답이 아니라고도 할 수 있지만 좀더 좋은 선생님이시라면 그 답이 맞을 수 있다는 것을 증명해 주어 학생의 생각의 폭을 더 넓혀주었으면 더 좋았을 거라 생각이 듭니다.
    저희나라 학생들이 수학은 잘하지만 가끔 로봇 같다는 생각을 합니다. 수학이라는 학문이 다만 숫자놀음을 떠나 자유로운 발상을 할 수 있는 틀을 마련해주었으면 합니다.
    기초를 튼튼히 해주는 것도 좋지만 울타리를 지어 그 범위를 제한 하는 것은 좋지 않다고 봅니다. 물론 좋은 선생님의 생각으로 학생을 좀더 깨닫게 하고자 하심은 존경 받을만 하나 자신 또한 학생들을 자신의 범주 밖으로 벗어나게 하지 않게하는 것은 아닌가 라는 생각도 드네요.
    마지막으로 좋은 얘기를 나누고자하는 의도로 글을 올리시는 분께 자신의 생각과 틀리다고하여 막말하는 것은 보기 좋지 않다 생각됩니다. 많은 얘기가 오가고 의견이 교환되다 보면 서로에게 좋은 공부가 될 것인데 상대를 설득하지도 못한채 과한 말만 앞세운다면 본래의 목적은 잃고 먼산으로만 가게 될것 같습니다.
    우리 욕하지 맙시다
  • ㅁㅁㅁ 2014/12/15 11:23 # 삭제

    개소리를 길게도 써놨네 개미기준으로 보지말고 다리기준으로 보세요 저게 틀린가
  • 어머니 2014/12/15 12:39 # 삭제

    저는 (왼쪽앞다리)+(오른쪽앞다리)+(왼쪽가운데다리)+(오른쪽가운데다리)+(왼쪽뒷다리)+(오른쪽뒷다리)
    이렇게 계산할건데요, 그러니까 5x6이라 해도 맞는걸로 해주세요.
  • 2015/10/19 19:30 # 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 신촌독수리2 2016/01/28 00:09 # 삭제

    지딴에는 곱셈의 개념을 아는 것이 중요하기에 그냥 넘어가는 대신에(교환법칙을 알고 있겠거니) 곰셈의 중요성을 다시 환기시키는 교사가 낫다고 하는것 같은데 오지게 철학적인척, 심도있는척 얘기하고 자빠졌네 지랄났다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ으 부끄러워 곱셈의 개념이 무엇인지 진짜 알고있냐? 구시대 일본 교육받고 그 소리 지껄이지말고 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
  • 신촌독수리2 2016/01/28 00:15 # 삭제

    아~~~~~~~~~~~~~ 4x9와 9x4는 다른 것이죠ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ
    곱셈의 정의가 뭐라고 생각하는지?
    동수누가로 먼저인지시키는 게 과연 맞는 교육방법인지?
    그냥 교과서에서 나왔다고 옳다고 생각하는 무지한 사람인지?
    웃기기만 하다
  • ㅇㅇ 2016/10/07 15:54 # 삭제

    요래서 문과는 안되요 ㅋㅋㅋㅋ
  • ㅇㅇ 2016/10/07 16:12 # 삭제

    개미5마리 다리를 각각6개로 생각해서 5*6썼겠지요 ㅋㅋ
  • ㅇㅇ 2016/10/07 16:41 # 삭제

    어휘력이 딸려서 그림으로 보여주고 싶은데 기능이 없네
  • 어휴 2016/11/19 18:14 # 삭제

    ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 곱셈은 가환연산이라는건 애써 무시하고 저걸 정당화시키려고 별 헛소리를 다하시네요 ㅋㅋㅋㅋ
    연산을 바르게 정의한다? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 연산을 어떻게 정의하든 덧셈의 연속으로서 곱셈을 정의했으면 교환법칙이 성립하는건 따름정리로 바로 나오는거고, 정의로부터 6x5 = 30 이라고 주장하더라도 정의에 의한 따름정리로부터 6x5=5x6=30 입니다.
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